E così via... - 1- Karl Friederich Gauss

Confusione, spavento: ragazzini e ragazzine strillavano o ridevano a crepapelle, la situazione minacciava di sfuggirle di mano! «Basta!», urlò Marta con quanto fiato aveva in gola. «State seduti! Non voglio sentir volare una mosca! Composti e con le braccia conserte! Adesso vi faccio fare un compito in classe a sorpresa di... di... aritmetica! E farà media, eh?».

Marta non credeva a quello che aveva appena detto. Aritmetica, la bestia nera di tanti alunni, che lei da anni cercava, senza successo, di far piacere... Ed ecco che la brandiva come una minaccia. Però... però aveva funzionato. I ragazzini si erano ammutoliti e stavano tutti lì con gli occhioni sgranati a guardarla. «Bene. Aprite i quaderni», disse allora la maestra, rendendosi conto che una marcia indietro avrebbe minato per sempre la sua già scarsa autorevolezza. «E calcolatemi, mmh.... calcolatemi la somma dei primi cento numeri interi!»

Nella classe si levò un brusio. Aveva esagerato? Maria Rosa, la prima della classe, alzò timidamente la mano. «Maestra, scusi, io... io non ho capito il problema». «È semplice, dovete dirmi quanto fa 1+2+3+4+5.... fino a 100, ecco». Il brusio si tramutò in un silenzio attonito. «Su, è facile. Ci vuole solo un po' di pazienza!».

Ah, finalmente la calma! Questo li avrebbe tenuti impegnati per un po', pensò Marta, appoggiandosi alla spalliera della sedia con aria soddisfatta e lasciandosi andare a fantasticherie didattiche in cui la sua classe diventava la prima classe del paese, e poi partecipava a gare internazionali e le vinceva... Era sul punto di essere insignita di un'onorificenza dal ministro dell'istruzione quando Carlo Federico alzò la mano. Lei, immersa com'era nei suoi pensieri, non lo vide, così lui cominciò a chiamarla: «Maestra, maestra, maestra!!....»

Marta si riscosse. «Carlo Federico, che c'è?!». «Maestra, io ho finito.» «Finito, come finito? Sono passati solo quindici minuti!» «Maestra, ho finito», replicò il piccoletto con ostinazione. «Va bene, allora, vieni qui, fammi vedere». «Maestra, l'ho fatto a mente».

Il solito spaccone, pensò lei. Adesso lo frego io... «Sì, sì, come no... Allora scrivi il risultato sul quaderno e portamelo». Carlo Federico fece come gli era stato detto e Marta trasecolò quando vide scritto, in bella calligrafia, 1+2+3+4+5... +98+99+100 = 5.050.

Il risultato era giusto! Va bene, l'avrà trovato da qualche parte, magari lo sapeva... ecco, sì. Senz'altro doveva già saperlo. Ma adesso ci avrebbe pensato lei... «Carlo Federico, il risultato è giusto. Allora, visto che sei così veloce fammi la somma dei primi.... 257 numeri». Tutta la classe trattenne il fiato, ma il piccolo diavolo non si scompose. «Mi dia cinque minuti...». Tornò al suo banco, fece qualche calcolo veloce e... «33.153!».

«Ma come....?», sussurrò Marta mentre controllava che il risultato fosse esatto. Lo era...

«Carlo Federico, hai una calcolatrice!» «No maestra!» «E allora spiegaci come hai fatto...» «Beh, ho trovato una regola...» Ormai tutta la classe pendeva dalle sue labbra, e Carlo Federico si spostò di sua iniziativa alla lavagna.

«Ecco, all'inizio non sapevo come fare... così ho cominciato a scrivere sul foglio

1

1+2

1+2+3

1+2+3+4

1+2+3+4+5

e ho visto un triangolo:

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Se i quadratini nell'immagine hanno tutti lato 1, fare la somma dei primi cinque numeri, significa calcolare l'area di questa figura, che però è facile...

Basta calcolare l'area del triangolo grande e poi aggiungere quei triangolini che spizzettano l'ipotenusa. Ora, l'area del triangolo è base per altezza diviso due. Nel nostro problema, base e altezza sono uguali e pari al numero di numeri che dobbiamo sommare...»

«Eh??», disse Maria Rosa.

«...Insomma, guarda il disegno... Qui mi sono fermato a 5, e la base e l'altezza sono uguali a 5, ma se avessi proseguito e fossero stati 100, come nel problema che ci ha dato la maestra, base e altezza sarebbero stati uguali a 100... Tutto chiaro, sinora?»

Nessuno disse di no, così il piccolo Carlo Federico proseguì:

«Allora, abbiamo questo triangolo con base 5 e altezza 5, allora l'area è

5*5    

  2

che, nel caso che ci ha dato la maestra, diventa:

100*100

      2

Però, mancano ancora i triangolini appoggiati sull'ipotenusa... Ma quello è facile. Come vedete, ciascuno di essi ha un'area pari alla metà di quella di un quadrato di lato 1, che è 1*1=1, quindi ha area ½. E quanti ce ne sono?»

«Cinque!» gridò Maria Rosa.

«Brava Maria Rosa! Quindi tutti insieme fanno un'area di 5/2... E se fossi arrivato a 100, sarebbe stata di 100/2. Insomma, mettendo tutto insieme ho che l'area della figura è

5*5  +  5

  2        2

che possiamo anche scrivere 5(5+1)/2. Quindi, il problema che ci ha dato la maestra ha come soluzione 100(100+1)/2, cioè 5.050. E quando mi ha detto di calcolare fino a 257, mi è bastato fare 257(257+1)/2, cioè 33.153!».

Carlo Federico era trionfante. Marta era attonita. La piccola peste non solo era riuscita a risolvere il problema, ma aveva catturato completamente l'attenzione della classe, cosa che a lei non era mai riuscita... Superato il primo momento di invidia ed odio puro per quel... quel ragazzino, siccome era una brava maestra decise di approfittarne.

«Davvero bravo, Carlo Federico! Ma vediamo, quella tua formula la possiamo scrivere più in generale. Insomma, se io vi avessi detto di sommare i primi n numeri interi, seguendo il ragionamento del vostro compagno, avremmo avuto come risultato:

n(n+1)

    2

Siete d'accordo?»

Il coro di sì la incoraggiò a proseguire.

«Ma voi sapete, perché ve l'ho spiegato qualche giorno fa, che i numeri interi sono infiniti... Siete sicuri che questa formula varrebbe anche se n fosse uguale a... che ne so?... un miliardo di fantastiliardi?

«Ma certo!», asserì con forza Carlo Federico, piccato dal fatto che la sua bella formula fosse messa in discussione, cosa che invece piacque molto agli altri, perché così quello avrebbe abbassato un po' la cresta, che con questa performance aveva raggiunto dimensioni stratosferiche.

«E no, mica basta che mi dici “Ma certo!”. Bisogna dimostrarlo... Tu diresti, vale per uno, vale per due, vale per cinque, vale per 257... e così via. Ebbene, c'è un principio matematico che traduce e rende rigorosa questa espressione!», disse Marta mentre ormai suonava la campanella. «Ma questo, alla prossima lezione...»

N.B.: il nome Carlo Federico non è casuale, ma fa riferimento a Karl Friederich Gauss, grande matematico tedesco ((Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855), che si dice abbia effettivamente risolto all'età di 10 anni il problema che qui ho descritto.